Question

在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，G为AD中点．
（1）请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线BF∥平面ACD，并证明这一事实；
（2）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小；
（3）求点G到平面BCE的距离．

Answer 1

分析：解法一（空间向量法）（1）建立空间坐标系，设F是线段CE的中点，求出直线BF的方向向量和平面ACD的法向量，根据两个向量垂直可得线面平行；
（2）分别求出平面BCD与平面ACD的法向量，代入向量夹角公式，求出两个向量夹角的余弦值，进而可得二面角的大小
（3）求出BG的方向向量的坐标，进而根据d=|

n • BG

| n |

|，可得点G到平面BCE的距离
解法二（几何法）（1）根据三角形中位线定理及平行四边形的判定和性质，可得BF∥AH，进而由线面平行的判定定理得到BF∥平面ACD
（2）由已知条件可知△ACD即为△BCE在平面ACD上的射影，分别求出两个三角形的面积，代入cosθ=

S△ACD

S△BCE

，可得二面角的大小
（3）连接BG、CG、EG，得三棱锥C-BGE，进而利用等积法，可求出点G到平面BCE的距离．

解答：解：解法一（空间向量法）：
以D点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，使得x轴和z轴的正半轴分别经过点A和点E，则各点的坐标为D（0，0，0），B（2，0，1），E（0，0，2），C（1，

3

，0），
（1）点F应是线段CE的中点，下面证明：
设F是线段CE的中点，则点F的坐标为（

1

2

，

3

2

，1），
∴

BF

=（-

3

2

，

3

2

，0）
又∵

DE

=（0，0，2）为平面ACD的一个法向量
且

BF

•

DE

=0
∴BF∥平面ACD；       …（4分）
（2）设平面BCE的法向量为

n

=（x，y，z），
则

n

⊥

CB

，且

n

⊥

CE

，
由

CB

=（1，-

3

，1），

CE

=（-1，-

3

，2）得，

x- 3 y+z=0 -x- 3 y+2z=0

不妨设y=

3

，则

n

=（1，

3

，2）
又∵

DE

=（0，0，2）为平面ACD的一个法向量
∴所求角θ满足cosθ=

n • DE

| n |•| DE |

=

2

2

，
∴平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小为

π

4

；       …（8分）
（3）由已知G点坐标为（1，0，0），
∴

BG

=（-1，0，-1），
由（2）平面BCE的法向量为

n

=（1，

3

，2）
∴所求距离d=|

n • BG

| n |

|=

3

4

2

．                        …（12分）
解法二：（几何法）
（1）由已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
∴AB∥ED，
设F为线段CE的中点，H是线段CD的中点，
连接FH，则FH∥ED且FH=ED，
∴FH∥AB且FH=AB，…（2分）
∴四边形ABFH是平行四边形，
∴BF∥AH，
由BF?平面ACD内，AH?平面ACD，
∴BF∥平面ACD；…（4分）
（2）由已知条件可知△ACD即为△BCE在平面ACD上的射影，
设所求的二面角的大小为θ，则cosθ=

S△ACD

S△BCE

，…（6分）
易求得BC=BE=

5

，CE=2

2

，
∴S_△BCE=

6

，
而S_△ACD=

3

，
∴cosθ=

S△ACD

S△BCE

=

2

2

，
∴θ=

π

4

；          …（8分）
（3）连接BG、CG、EG，得三棱锥C-BGE，
由ED⊥平面ACD，
∴平面ABED⊥平面ACD，
又CG⊥AD，
∴CG⊥平面ABED，
设G点到平面BCE的距离为h，
则V_C-BGE=V_G-BCE=

1

3

S_△BCE•GC=

1

3

S_△BCE•h，
由S_△BCE=

6

，S_△BGE=

3

2

，CG=

3

，
∴h=

3

4

2

即为点G到平面BCE的距离．…（12分）

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角，棱锥的体积，直线与平面平行的判定，其中方法一建立空间坐标系将空间线面关系转化为向量关系，是常用的解题方法，要求熟练掌握．