Question

【题目】已知关于的不等式.

（1）当时，解不等式；

（2）如果不等式的解集为空集，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】试题分析：（1）当时，不等式变为。由绝对值的意义，按绝对值号内的的正负，分三种情况讨论：当时，不等式变为；当时，不等式变为，恒成立，所以符合不等式；当时，不等式变为。取三种情况的并集，可得原不等式的解集。（2）解法一：构造函数与，原不等式的解集为空集， 的最小值比大于或等于，作出与的图象. 只须的图象在的图象的上方，或与重合， 。解法二：构造函数，讨论绝对值号内式子得正负去掉绝对值可得， ，求每一段函数的值域，可得函数的最小值=1， 小于等于函数的最小值1.解法三，由不等式可得，当且仅当时，上式取等号，∴.

试题解析：解：（1）原不等式变为.

当时，原不等式化为，解得，∴

当时，原不等式化为，∴ .

当时，原不等式化为，解得，∴ .

综上，原不等式解集为.

（2）解法一：作出与的图象.

若使解集为空集，

只须的图象在的图象的上方，或与重合，

∴，所以的范围为.

解法二： ，

当时， ，

当时， ，

当时， ，

综上，原问题等价于，∴ .

解法三：∵，当且仅当时，上式取等号，∴.