题目内容

（选修4-5：不等式选讲）
已知正数a，b，c满足abc=1，求证：（a+2）（b+2）（c+2）≥27．
分析：根据条件以及 （a+2）（b+2）（c+2）=（a+1+1）（b+1+1）（c+1+1），利用基本不等式，证得要证的不等式成立．
解答：证明：由于正数a，b，c满足abc=1，
故有 （a+2）（b+2）（c+2）=（a+1+1）（b+1+1）（c+1+1）≥3
3a
•3
3b
•3
3c
=27
3abc
=27，
当且仅当a=b=c=1时 等号成立，
故：（a+2）（b+2）（c+2）≥27成立．
点评：本题主要考查用综合法证明不等式，基本不等式的应用，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
（选修4-5：不等式选讲）
已知a，b，c∈R+，且
1
a
+
2
b
+
3
c
≤|x|+|x-2|对?x∈R恒成立，求a+2b+3c的最小值．
选修4-5：不等式选讲：
已知a、b、c是正实数，求证：
a2
b2
+
b2
c2
+
c2
a2
≥
b
a
+
c
b
+
a
c
．
本题包括（1）、（2）、（3）、（4）四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内答，
若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（1）、选修4-1：几何证明选讲
如图，∠PAQ是直角，圆O与AP相切于点T，与AQ相交于两点B，C．求证：BT平分∠OBA
（2）选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）
若点A（2，2）在矩阵M=
cosα-sinα
sinαcosα
对应变换的作用下得到的点为B（-2，2），求矩阵M的逆矩阵
（3）选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）
在极坐标系中，A为曲线ρ2+2ρcosθ-3=0上的动点，B为直线ρcosθ+ρsinθ-7=0上的动点，求AB的最小值．
（4）选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）
已知a1，a2…an都是正数，且a1•a2…an=1，求证：（2+a1）（2+a2）…（2+an）≥3n．
（2013•泰州三模）选修4-5：不等式选讲
已知a＞0，b＞0，n∈N*．求证：
an+1+bn+1
an+bn
≥
ab
．
（2013•徐州模拟）[选修4-5：不等式选讲]
已知a，b，c为正数，且满足acos2θ+bsin2θ＜c，求证：
a
cos2θ+
b
sin2θ＜
c
．

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