Question

已知椭圆C中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，短轴长为．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N（M、N不是椭圆的左、右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）直接利用解出即可得椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）先把直线方程与椭圆方程联立，求出关于点M、N坐标之间的等式，再代入AM⊥AN对应的等式即可求出m和k之间的关系，进而证得直线l过定点，并求出定点的坐标．
解答：解：（Ⅰ）设椭圆的长半轴为a，短半轴长为b，半焦距为c，则解得
∴椭圆C的标准方程为．（4分）
（Ⅱ）由方程组消去y，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．（6分）
由题意△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，
整理得：3+4k²-m²＞0①（7分）
设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），则，．（8分）
由已知，AM⊥AN，且椭圆的右顶点为A（2，0），
∴（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0． （10分）
即（1+k²）x₁x₂+（km-2）（x₁+x₂）+m²+4=0，
也即，
整理得7m²+16mk+4k²=0．
解得m=-2k或，均满足①（11分）
当m=-2k时，直线l的方程为y=kx-2k，过定点（2，0），不符合题意舍去；
当时，直线l的方程为，过定点，
故直线l过定点，且定点的坐标为．（13分）
点评：本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系以及直线过定点等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力及创新意识，考查化归与转化思想，特殊与一般思想．