Question

在正方体AC₁中，已知E、F、G、H分别是CC₁、BC、CD和A₁C₁的中点．证明：
（1）AB₁∥GE，AB₁⊥EH；
（2）A₁G⊥平面EFD．

Answer 1

证明：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A（0，0，0）、B（1，0，0）、C（1，1，0），D（0，1，0）、A₁（0，0，1）、B₁（1，0，1）、C₁（1，1，1）、D₁（0，1，1），
由中点性质得E（1，1，

1

2

）、F（1，

1

2

，0），G（

1

2

，1，0）、H（

1

2

，

1

2

，1）．
（1）则

AB1

=（1，0，1），

GE

=（

1

2

，0，

1

2

），

EH

=（-

1

2

，-

1

2

，

1

2

）
∵

AB1

=2

GE

，

AB1

•

EH

=1×（-

1

2

）+1×

1

2

=0，
∴

AB1

∥

GE

，

AB1

⊥

EH

．
即AB₁∥GE，AB₁⊥EH．
（2）∵

A1G

=（

1

2

，1，-1），

DF

=（1，-

1

2

，0），

DE

=（1，0，

1

2

），
∴

A1G

•

DF

=

1

2

-

1

2

+0=0，

A1G

•

DE

=

1

2

+0-

1

2

=0，
∴A₁G⊥DF，A₁G⊥DE．
又DF∩DE=D，
∴A₁G⊥平面EFD．