题目内容

已知公差不为0的等差数列{a_n}的前3项和S₃=9，且a₁，a₂，a₅成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式和前n项和S_n
（2）设T_n为数列{ $数学公式$ }的前n项和，若T_n≤λa_n+1对一切n∈N^*恒成立，求实数λ的最小值．

解：（1）由S₃=9，可得3a₁+3d=9即a₁+d=3①（2分）
∵a₁，a₂，a₅成等比数列．
∴ $\text{[math]}$ ②；
联立①②得a₁=1，d=2；…（4分）
故a_n=2n-1， $\text{[math]}$ …（6分）
（2）∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ …（8分）
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ …（10分）
由T_n≤λa_n+1得： $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
令f（n）= $\text{[math]}$ ，
∵f（n）单调递增，
∴f（n） $\text{[math]}$
即 $\text{[math]}$ …（12分）
分析：（1）由等差数列的求和公式可得a₁+d=3，由a₁，a₂，a₅成等比数列，可得 $\text{[math]}$ ，从而可求a₁，d，从而可求
（2）由 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，利用裂项可求数列的和T_n，然后由T_n≤λa_n+1得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，只要求 $\text{[math]}$ 的最大值即可求出λ的范围
点评：本题考查的重点是数列的通项与求和，解题的关键是利用等差数列与等比数列的定义，利用裂项法求和．