Question

设数列{a_n}的各项均为正数，前n项和为S_n，对于任意的n∈N_＋，a_n，S_n，a成等差数列，设数列{b_n}的前n项和为T_n，且b_n＝，若对任意的实数x∈(1，e](e是自然对数的底)和任意正整数n，总有T_n<r(r∈N_＋)．则r的最小值为________．

Answer 1

2

根据题意，对于任意n∈N_＋，总有a_n，S_n，a成等差数列，则对于n∈N^*，总有2S_n＝a_n＋①
所以2S_n－1＝a_n－1＋ (n≥2)②
①－②得2a_n＝a_n＋－a_n－1－，即a_n＋a_n－1＝(a_n＋a_n－1)(a_n－a_n－1)因为a_n，a_n－1均为正数，所以a_n－a_n－1＝1(n≥2)，
所以数列{a_n}是公差为1的等差数列，又n＝1时，2S₁＝a₁＋a，解得a₁＝1，所以a_n＝n，对于任意的实数x∈(1，e]，有0<ln x<1，对于任意正整数n.总有b_n＝≤，所以T_n≤＝，又对任意的实数x∈(1，e]和任意正整数n，总有T_n<r(r∈N_＋)，所以r的最小值为2.