已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$.且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6+4$\sqrt{2}$．(Ⅰ)求椭圆C的方程,(Ⅱ)设直线l:x=ky+m与椭圆C交手A.B两点.若以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点D.求△ABD面积的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6+4$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l：x=ky+m与椭圆C交手A、B两点，若以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点D，求△ABD面积的最大值．

分析（I）根据椭圆的定义方程，得出$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，2a$+2c=6+4\sqrt{2}$，求解即可得出方程．
（II）不妨设AB的方程为x=ky+m，与椭圆方程联立，根据以AB为直径的圆过点D，可得 $\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DB}$=0，从而可求m的值，进而可表示三角形的面积，换元，即可求得ABC面积的最大值

解答解：（I）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6+4$\sqrt{2}$，
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，2a$+2c=6+4\sqrt{2}$，
∴a=3，c=2$\sqrt{2}$，b=1，
即椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$$+\frac{{y}^{2}}{1}$=1，
（II）不妨设AB的方程为x=ky+m．
由$\left\{\begin{array}{l}{x=ky+m}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$消去x得（k²+9）y²+2kmy+m²-9=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则有y₁+y₂=-$\frac{2km}{{k}^{2}+9}$，y₁y₂=$\frac{{m}^{2}-9}{{k}^{2}+9}$①
因为以AB为直径的圆过点D，所以 $\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DB}$=0
由 $\overrightarrow{DA}$=（x₁-3，y₁），$\overrightarrow{DB}$=（x₂-3，y₂），得（x₁-3）（x₂-3）+y₁y₂=0．
将x₁=ky₁+m，x₂=ky₂+m代入上式，
得（k²+1）y₁y₂+k（m-3）（y₁+y₂）+（m-3）²=0．
将①代入上式，解得m=$\frac{12}{5}$或m=3（舍）．
所以m=$\frac{12}{5}$（此时直线AB经过定点D（$\frac{12}{5}$，0），与椭圆有两个交点）．
所以S_△ABC=$\frac{1}{2}$S△ABC=$\frac{1}{2}$|AB||y₁-y₂|=$\frac{1}{2}×$ $\frac{3}{5}$$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{9}{5}$．
设t=$\frac{1}{{k}^{2}+9}$，0$＜t≤\frac{1}{9}$，则S_△ABC=$\frac{9}{5}$．
所以当t=$\frac{25}{288}$时，S_△ABC取得最大值$\frac{3}{8}$．