Question

【题目】已知抛物线L：（）的焦点为F，过点的动直线l与抛物线L交于A，B两点，直线交抛物线L于另一点C，直线的最小值为4.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若过点A作y轴的垂线m，则x轴上是否存在一点，使得直线PB与直线m的交点恒在一条定直线上？若存在，求该点的坐标及该定直线的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，，.

【解析】

（1）显然当轴时，取得最小值，可得，即可得到所求抛物线方程；

（2）假设轴上存在一点，，使得直线与直线的交点恒在一条定直线上．设，，，，直线的方程为，联立抛物线方程，运用韦达定理，由的方程和直线的方程，联立求得交点，化简可得所求定点和定直线．

（1）设直线的倾斜角为，

所以由抛物线（）的焦点弦公式得，

所以当，即当轴时，取得最小值.

把代入可得，

故，，

可得抛物线的方程为：．

（2）假设轴上存在一点，，使得直线与直线的交点恒在一条定直线上．

设，，，，直线的方程为，

联立抛物线方程，可得，

，，

直线的方程为即，

联立直线，

可得，

由，，可得，，

即有，

由假设可得，

即，此时，

可得存在定点，定直线为．