Question

如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，且SA＝AB，E为AB的中点，F为SC的中点．求证：

(1)EF⊥CD；

(2)平面SCD⊥平面SCE．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)连接AC，AF，BF．因为SA⊥平面ABCD，所以SA⊥AC．又因为F为SC的中点，所以AF为Rt△SAC斜边SC上的中线，所以AF＝SC．因为四边形ABCD是正方形，所以CB⊥AB．因为SA⊥平面ABCD，所以CB⊥SA．因为AB∩SA＝A，所以CB⊥平面SAB，所以CB⊥SB．又因为F为SC的中点，所以BF为Rt△SBC斜边SC上的中线，所以BF＝SC＝AF．所以△AFB为等腰三角形．因为E为AB的中点，所以EF⊥AB．又CD∥AB，所以EF⊥CD． 　　(2)因为SA＝AB＝BC，E为AB的中点，∠SAE＝∠CBE＝90°， 　　所以Rt△SAE≌Rt△CBE， 　　所以SE＝CE． 　　因为F为SC的中点， 　　所以EF⊥SC． 　　又因为EF⊥CD，SC∩CD＝C， 　　所以EF⊥平面SCD． 　　因为EF平面SCE， 　　所以平面SCD⊥平面SCE．