Question

设A是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的长轴的右端点，若椭圆上存在一点P，使∠OPA＝，求椭圆离心率e的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解答　　设P(x0，y0)，则P在以OA为直径的圆周上(除O、Q两点)，所以0＜x0＜a． 　　∵kPA·kOP＝－1，∴·＝－1，即y02＝x0(a－x0) 　　又P(x0，y0)在椭圆上，∴y02＝(a2－x02)， 　　从而x0(a－x0)＝(a2－x02)，即x0＝． 　　∵0＜x0＜a，∴＜a，a2－c2＜c2，得e2＞， 　　∴＜e＜1． 　　评析　　本题易错在x0(a－x0)＝(a2－x02)，得(b2－a2)x02＋a3x0－a2b2＝1，再由Δ＞0得e2≠，使范围扩大．错因在于Δ＞0只能使方程有解，而不一定满足0＜x0＜a，故使取值范围扩大．