Question

已知k＞0,直线l₁:y=kx,l₂:y=-kx.

(1)证明到l₁、l₂的距离的平方和为定值a(a＞0)的点的轨迹是圆或椭圆;

(2)求到l₁、l₂的距离之和为定值c(c＞0)的点的轨迹.

Answer 1

(1)证明：设点P(x,y)为动点，则

    +=a,

    整理得+=1.

    因此，当k=1时，动点的轨迹为圆；

    当k≠1时，动点的轨迹为椭圆.

(2)解：设点P(x,y)为动点，则

    |y-kx|+|y+kx|=c.

    当y≥k|x|时，y-kx+y+kx=c,即y=c;

    当y≤-k|x|时，kx-y-y-kx=c,即y=-c;

    当-k|x|＜y＜k|x|,x＞0时，kx-y+y+kx=c,即x=c;

    当-k|x|＜y＜k|x|,x＜0时，y-kx-y-kx=c,即x=-c.

    综上，动点的轨迹为矩形.