Question

已知k＞0，直线l₁：y=kx，l₂：y=-kx．
（1）证明：到l₁、l₂的距离的平方和为定值a（a＞0）的点的轨迹是圆或椭圆；
（2）求到l₁、l₂的距离之和为定值c（c＞0）的点的轨迹．

Answer 1

（1）证明：设点P（x，y）为动点，则

|y-kx|2

1+k2

+

|y+kx|2

1+k2

=a，
整理得

x2

(1+k2)a 2k2

+

y2

(1+k2)a 2

=1．
因此，当k=1时，动点的轨迹为圆；
当k≠1时，动点的轨迹为椭圆．
（2）设点P（x，y）为动点，则
|y-kx|+|y+kx|=c

1+k2

．
当y≥k|x|时，y-kx+y+kx=c

1+k2

，即y=

1

2

c

1+k2

；
当y≤-k|x|时，kx-y-y-kx=c

1+k2

，即y=-

1

2

c

1+k2

；
当-k|x|＜y＜k|x|，x＞0时，kx-y+y+kx=c

1+k2

，即x=

1

2k

c

1+k2

；
当-k|x|＜y＜k|x|，x＜0时，y-kx-y-kx=c

1+k2

，即x=-

1

2k

c

1+k2

．
综上，动点的轨迹为矩形．