Question

对有n（n≥4）个元素的总体{1，2，3，…，n}进行抽样，先将总体分成两个子总体{1，2，3，…，m}和{m+1，m+2，…，n}（m是给定的正整数，且2≤m≤n-2），再从每个子总体中各随机抽出2个元素组成样本，用p_ij表示元素i和j同时出现在样本中的概率．
（Ⅰ）若n=8，m=4，求P₁₈；
（Ⅱ）求p_1n；
（Ⅲ）求所有p_ij（1≤i＜j≤n）的和．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意可知两个子总体为{1，2，3，4}，{5，6，7，8}，利用组合的方法求出随机抽取2个元素所有的抽法和元素1和8同时出现在样本中的抽法，利用古典概型的概率公式即可求得P₁₈；
（Ⅱ）利用组合的方法求出从{1，2，…，m}中随机抽取2个元素所有的抽法有

C

2 m

C

2 n-m

种及从{m+1，m+2，…，n}中随机抽取2个元素所有的抽法有有

C

1 m-1

C

1 n-m-1

种，由古典概型的概率公式求出概率．
（Ⅲ）根据i，j所在的子集不同，故分三类分别讨论，研究当1≤i＜j≤m时，当1≤i≤m＜j≤n时，当m＜i＜j≤n时的概率以及组数，最后即可求得所有p_ij（1≤i＜j≤n）的和．

解答：解：（Ⅰ）当n=8，m=4时，两个子总体为{1，2，3，4}，{5，6，7，8}，
从每个子总体中各随机抽出2个元素组成样本，共有

C

2 4

C

2 4

=36种抽法，
元素1和8同时出现在样本中的抽法，共有

C

1 3

C

1 3

=9种抽法，
∴P₁₈=

9

36

=

1

4

；
故P₁₈=

1

4

；
（Ⅱ）p_1n表示元素1和n同时出现在样本中，
∴在{2，3，…，m}中再抽取一个，在{m+1，m+2，…，n-1}中也再抽取一个，
∴共有

C

1 m-1

C

1 n-m-1

种抽法，
又∵在两个子总体{1，2，3，…，m}和{m+1，m+2，…，n}中各随机抽出2个元素组成样本，
∴共有

C

2 m

C

2 n-m

种抽法，
∴p_1n=

C 1 m-1 C 1 n-m-1

C 2 m C 2 n-m

=

4

m(n-m)

；
（Ⅲ）∵p_ij表示元素i和j同时出现在样本中的概率，
又i，j所在的子集不同，故应分三类：
①当1≤i＜j≤m时，p_ij=

C 2 2 C 2 n-m

C 2 m C 2 n-m

=

1

C 2 m

，这样的（i，j）中共有

C

2 m

组；
②当1≤i≤m＜j≤n时，p_ij=

C 1 m-1 C 1 n-m-1

C 2 m C 2 n-m

=

4

m(n-m)

，这样的（i，j）中共有

C 1 m C

1 n-m

组；
③当m＜i＜j≤n时，p_ij=

C 2 m C 2 2

C 2 m C 2 n-m

=

1

C 2 n-m

，这样的（i，j）中共有

C

2 n-m

组．
综上所述，所有的p_ij（1≤i＜j≤n）的和等于

1

C 2 m

•

C

2 m

+

4

m(n-m)

•

C 1 m C

1 n-m

+

1

C 2 n-m

•

C

2 n-m

=6，
故所有p_ij（1≤i＜j≤n）的和为6．

点评：本题考查古典概型求解，考查阅读、分析计算、分类讨论的能力．求一个事件的概率关键是判断出事件所属的概率模型，然后选择合适的概率公式进行计算．属于中档题．