Question

1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知4sin²$\frac{A+B}{2}$-cos2C=$\frac{7}{2}$，且a+b=5，c=$\sqrt{7}$，则ab为6．

Answer 1

分析 运用三角函数的诱导公式和二倍角公式，化简整理，解方程可得cosC=$\frac{1}{2}$，再由余弦定理和配方，计算即可得到所求ab的值．

解答 解：4sin²$\frac{A+B}{2}$-cos2C=4sin²$\frac{π-C}{2}$-（2cos²C-1）
=4cos²$\frac{C}{2}$-2cos²C+1=2（1+cosC）-2cos²C+1=3+2cosC-2cos²C=$\frac{7}{2}$，
解得cosC=$\frac{1}{2}$，
由余弦定理可得c²=a²+b²-2abcosC，
由c=$\sqrt{7}$，可得a²+b²-ab=7，即为（a+b）²-3ab=7，
由a+b=5，可得3ab=25-7=18，
解得ab=6．
故答案为：6．

点评 本题考查余弦定理的运用，三角函数的化简和求值，注意运用二倍角公式的运用，考查运算能力，属于中档题．