Question

求（x+-1）⁵展开式中的常数项.

Answer 1

解法一:∵（x+-1）⁵=［(x+)-1］⁵，

∴通项为T_r+1=(x+)^5-r(-1)^r(0≤r≤5).

当r=5时，T₆=(-1)⁵=-1；

当0≤r＜5时，(x+)^5-r的通项为

T_k+1^‘=x^5-r-k()^k=x^5-r-2k(0≤k≤5-r).

∵0≤r＜5且r∈Z，

∴r只能取1或3，相应的k值分别为2或1.

∴常数项为(-1)+(-1)³+(-1)=-51.

解法二:由于本题只有5次，也可以直接展开，即

［(x+)-1］⁵=(x+)⁵-5(x+)⁴+10(x+)³-10(x+)²+5(x+)-1.

由x+的对称性知只有在x+的偶数次幂中的展开式中才会出现常数项且是各自的中间项，

∴常数项为-5-10-1=-51.

解法三:(x+-1)⁵=(x+-1)(x+-1)(x+-1)(x+-1)(x+-1).

按多项式乘法的规律，常数可从五个因式中都选取-1相乘为(-1)⁵；

或从五个因式中选定一因式取x，一因式取，

另三个因式中取(-1)，为(-1)³;

或从五个因式某两因式中取x，

另两因式中取，余下一个因式中取-1，

得式为(-1).

所以常数项为(-1)⁵+(-1)³+(-1)=-51.