题目内容
四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为6的正方形，且PA=PB=PC=PD，若一个半径为1的球与此四棱锥的所有面都相切，则此四棱锥的体积为
27
27
．分析：由已知，球的球心在四棱锥P-的高上，把空间问题平面化，作出过正四棱锥的高作组合体的轴截面，利用平面几何知识求出高，再求体积即可．
解答：
解：由已知，四棱锥P-ABCD是正四棱锥，球的球心O在四棱锥的高PH上．过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图：
其中PE，PF是斜高，A为球面与侧面的切点．
设PH=h，由几何体可知，RT△PAO∽RT△PHF，∴
=
，即
=
，解得h=
∴此四棱锥的体积V=
Sh=
×62×
=27
故答案为：27
解：由已知，四棱锥P-ABCD是正四棱锥，球的球心O在四棱锥的高PH上．过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图：其中PE，PF是斜高，A为球面与侧面的切点．
设PH=h，由几何体可知，RT△PAO∽RT△PHF，∴
| OA |
| FH |
| PO |
| PF |
| 1 |
| 3 |
| h-1 | ||
|
| 9 |
| 4 |
∴此四棱锥的体积V=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 9 |
| 4 |
故答案为：27
点评：本题主要考查了球内切多面体、几何体的结构特征．考查空间想象能力、计算能力．把空间问题平面化，求出高是关键．
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| B、1 | ||
C、
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D、
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