Question

已知直线l:x+y-2=0,一束光线过点P(0,+1),且以120°的倾斜角投射到l上,经l反射,求反射光线所在直线的方程.

Answer 1

思路解析：本题可以从多个角度思维,故解法较多,下面提供几种思路供参考:①考虑反射线的倾斜角与三角形外角定理的关系；②由到角公式求反射线的斜率；③考虑反射线的对称关系,可求某一点P关于l的对称点；④由y=x是法线,可以联想到转化为函数问题求解.

解法一:入射光线所在直线为:y-(+1)=-x,故由得Q(1,1).

由于l的倾斜角为135°,入射光线PQ的倾斜角为120°,∴入射光线与l的夹角为15°,∠QP′x=135°+15°=150°,∴k_QP=-.∴反射光线所在直线的方程为y-1=-(x-1),即x+y-(+1)=0.

解法二:k_入射线=-,k₁=-1.设k_反射线=k,由入射线到l的角等于l到反射线的角得=.解之,得k=-,以下略.

解法三:设P″(x,y)和P(0,+1)关于l对称,可求得P″(1-,2).

又由得Q(1,1).

由于反射线所在直线过P″和Q点,∴它的方程为=,即x+y-(+1)=0.

解法四:设反射线方程为y-1=k(x-1).在l上取点(2,0),则由该点到反射线、入射线距离相等得k²+4k+=0.解得k₁=-,k₂=-(舍去),以下略.

解法五:由于入射线和l交点Q(1,1),直线y=x过Q且和l垂直,∴入射线和反射线关于直线y=x对称,利用直线对称即可求解,以下略.

解法六:由于入射线与反射线关于y=x对称,则λ射线方程可看成关于y的一次函数,反射线就是其反函数.

∴反射线方程为y+x-(+1)=0.