Question

已知函数y=-2x²+8x-9,其图象按a平移后，得到的抛物线的顶点在y轴上，且在x轴上截得的弦长为4，求平移后的函数解析式及向量a的坐标.

Answer 1

解法一:设平移后的函数解析式为y=-2x²+b,

由题意可知其过点（2，0）,

∴-2×4+b=0.

∴b=8.∴平移后的函数解析式为y=-2x²+8.

设P（x,y)为平移前函数图象上的任意一点，其平移后的对应点为P′(x′,y′),

则有y′-8=-2x′²,∴

即∴∴a=(-2,9).

解法二:设a=（h,k),则即

代入y=-2x²+8x-9,有y′-k=-2(x′-h)²+8(x′-h)-9,

即y′=-2x′²+(4h+8)x′-2h²+k-9-8h.

∵平移后的抛物线顶点在y轴上，

∴对称轴方程为x=×(-2)=0.

∴4h+8=0.∴h=-2.

∴有y′=-2x′²+k-1过点（2，0）.

∴有-8+k-1=0.∴k=9.

∴a=(-2,9),y′=-2x′²+8,

即平移后的函数解析式为y=-2x²+8.