Question

已知函数y=2x²+bx+c在(-∞，-

3

2

)上是减函数，在(-

3

2

，+∞)上是增函数，且两个零点x₁，x₂满足|x₁-x₂|=2，求二次函数的解析式．

Answer 1

分析：二次函数的对称轴把定义域分为两个单调区间，可得其对称轴为x=-

3

2

，由此可以求出b，对|x₁-x₂|=2进行变形得|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

9-2c

=2，由此方程可求得c．

解答：解：由已知得：对称轴x=-

3

2

，
所以-

b

4

=-

3

2

得b=6；
故f（x）=2x²+6x+c
又x₁，x₂是f（x）的两个零点，所以x₁，x₂是方程2x²+6x+c=0的两个根，
∴x1+x2=-3，x1•x2=

c

2

；
所以|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

9-2c

=2得c=

5

2

故f(x)=2x2+6x+

5

2

．

点评：本题考点是待定系数法求函数解析式，此类题的特征是知道了函数图象上某些点的坐标或者知道了函数的一些与点的坐标有关系的特征以及对称性等，可以由这些特征建立方程求出相应参数，得到二次函数的解析式．