Question

实轴长为的椭圆的中心在原点，其焦点F₁，，F₂在x轴上．抛物线的顶点在原点O，对称轴为y轴，两曲线在第一象限内相交于点A，且AF₁⊥AF₂，△AF₁F₂的面积为3．
（Ⅰ）求椭圆和抛物线的标准方程；
（Ⅱ）过点A作直线l分别与抛物线和椭圆交于B，C，若，求直线l的斜率k．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设椭圆方程为，AF₁=m，AF₂=n，由题意知，由此能求出椭圆的方程和抛物线方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为，B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．由，得，联立直线与抛物线的方程，得，．联立直线与椭圆的方程，得．由此能求出直线l的斜率．
解答：解：（Ⅰ）设椭圆方程为，AF₁=m，AF₂=n

由题意知…（2分）
解得c²=9，∴b²=12-9=3．
∴椭圆的方程为…（4分）
∵y_A×c=3，∴y_A=1，代入椭圆的方程得，
将点A坐标代入得抛物线方程为x²=8y．         …（6分）
（Ⅱ）设直线l的方程为，B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）
由得，
化简得…（8分）
联立直线与抛物线的方程，
得
∴①…（10分）
联立直线与椭圆的方程
得
∴②…（12分）
∴
整理得：∴，所以直线l的斜率为．       …（14分）
点评：本题考查椭圆和抛物线的标准方程的求法和求直线l的斜率k．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活运用椭圆性质，合理地进行等价转化．