Question

（本小题满分13分）

实轴长为的椭圆的中心在原点，其焦点在轴上.抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，两曲线在第一象限内相交于点,且，△的面积为.

（Ⅰ）求椭圆和抛物线的标准方程；

（Ⅱ）过点作直线分别与抛物线和椭圆交于,若,求直线的斜率.

Answer 1

（本小题满分13分）解（1）设椭圆方程为，

由题意知                      …………………………………………2分

解得，∴．

∴椭圆的方程为                     …………………………………………4分

∵，∴,代入椭圆的方程得，

将点A坐标代入得抛物线方程为．         …………………………………………6分

（2）设直线的方程为，

由  得，

化简得                          …………………………………………8分

联立直线与抛物线的方程，

得

∴①                              …………………………………………10分

联立直线与椭圆的方程

得

∴②                   

∴

整理得：

∴ ，所以直线的斜率为  ．       …………………………………………13分