Question

平面直角坐标系xOy中，已知以O为圆心的圆与直线l：y=mx+（3-4m）恒有公共点，且要求使圆O的面积最小．
（1）写出圆O的方程；
（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内动点P使|

PA

|、|

PO

|、|

PB

|成等比数列，求

PA

•

PB

的范围．

Answer 1

分析：（1）根据已知直线必过定点，而要使面积最小则定点一定在圆上，此时易求出圆的方程；
（2）根据圆与x轴相交，求出AB两点坐标，根据P在圆内以及由使|

PA

|、|

PO

|、|

PB

|成等比数列分别求出一个关系式，两个关系式联立即可求出y₀²的取值范围，最终判断出

PA

•

PB

的取值范围

解答：解：（1）∵直线方程为y=mx+（3-4m）
∴易得l过定点T（4，3）
由题意，要使圆O的面积最小，定点T（4，3）在圆上
∴圆O的方程为：x²+y²=25
（2）∵圆O与x轴相交于A、B两点
故A（-5，0） B（5，0）
设P（x₀，y₀）为圆内任意一点
故：x₀²+y₀²＜25            ①

PA

=(-5-x0，-y0)，

PB

=(5-x0，-y0)
由使|

PA

|、|

PO

|、|

PB

|成等比数列得：
|

PO

|2=|

PA

|•

|PB|

∴x₀²+y₀²=

(x0+5)2+y02

•

(x0-5)2+y02

整理得：x₀²-y₀²=

25

2

         ②
由①②得：
0≤y₀²≤

25

4

PA

• 

PB

=（x₀²-25）+y₀²=2y₀²-

25

2

∴

PA

•

PB

∈[-

25

2

，0）．

点评：本题考查向量的取值范围问题，涉及到直线与圆的位置关系，以及等比数列问题．通过圆内任意点坐标满足的两个关系最终确定向量的取值范围，属于难题．