Question

设f（x）是定义在R上的函数，若f（0）=2008，且对任意x∈R，满足f（x+2）-f（x）≤3•2^x，f（x+6）-f（x）≥63•2^x，则f（2008）=．

Answer 1

【答案】分析：由题设条件，可根据题设中的两个不等式来限定f（2008）的取值范围，从而确定其值，
解答：解：由题意f（2008）≤f（2006）+3×2²⁰⁰⁶≤f（2004）+3×（2²⁰⁰⁶+2²⁰⁰⁴）≤…≤f（0）+3×（2²⁰⁰⁶+2²⁰⁰⁴+…+2 ²+2 ⁰）=2008+3×=2007+2²⁰⁰⁸①
f（2008）≥f（2002）+63•2²⁰⁰²，≥f（1996）+63×（2²⁰⁰²+2¹⁹⁹⁶）≥f（1990）+63（2²⁰⁰²+2¹⁹⁹⁶+2¹⁹⁹⁰）≥…≥f（4）+63（2²⁰⁰²+2¹⁹⁹⁶+2¹⁹⁹⁰+…+2⁴）
=f（4）+63×=f（4）+2²⁰⁰⁸-2⁴  ②
又已知，又由f（x+2）-f（x）≤3•2 ^x，f（x+6）-f（x）≥63•2 ^x可得f（x+6）-f（x+2）≥60•2 ^x=15•2 ^x+2，即f（x+4）-f（x）≥15•2 ^x，
再由f（x+2）-f（x）≤3•2^x，得f（x+4）-f（x+2）≤3•2 ^x+2，两者相加得，得f（x+4）-f（x）≤15•2^x，所以f（x+4）-f（x）=15•2^x，
∴f（4）-f（0）=15•2=15
∴f（4）=f（0）+15=2008+15=2023，代入②
解得f（2008）≥2007+2²⁰⁰⁸③
由①③得（2008）=2007+2²⁰⁰⁸
故答案为：2007+2²⁰⁰⁸
点评：本题考查抽象函数及其应用，解题的关键是根据题设中的两个不等式得出f（2008）的取值范围，根据其范围判断出函数值．本题比较抽象，下手角度很特殊，用到了归纳法的思想，利用归纳推理发现规律在数学解题中经常用到．本题易因为找不到方法而导致出错．