Question

直线y=kx+1 （k＜0且k≠-

1

2

）与曲线ρ²sinθ-ρsin2θ=0的公共点的个数是

3

．

Answer 1

分析：把曲线ρ²sinθ-ρsin2θ=0 进一步化为y=0，或者 x²+y²=2x．若曲线为y=0，则直线与曲线一个交点．若曲线为 （x-1）²+y²=1，则直线与曲线2个交点．综合可得直线与曲线的交点个数．

解答：解：曲线ρ²sinθ-ρsin2θ=0 即ρ（ρsinθ-2sinθcosθ）=0，即 ρsinθ（ρ-2cosθ）=0，可得ρsinθ=0，或者ρ=2cosθ．
进一步化为y=0，或者 x²+y²=2x，故曲线方程为 y=0，或者 （x-1）²+y²=1．
若曲线为y=0，则直线y=kx+1 （k＜0且k≠-

1

2

）与曲线一个交点．
若曲线为 （x-1）²+y²=1 表示一个圆，则由圆心（1，0）到直线y=kx+1的距离为

|k+1|

k2+1

＜圆的半径1，
可得直线与曲线2个交点．
综上可得，直线y=kx+1 （k＜0且k≠-

1

2

）与曲线有3个交点，
故答案为 3．

点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，属于基础题．