Question

【题目】已知数列中，．

(1)求证：数列是等比数列；

(2)求数列的通项公式；

(3)设，若对任意，有恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】分析：第一问将，变形为，利用等比数列的定义即可证明；第二问根据第一问的结论可以得出，之后应用累加法求得，一定不要忘记对首项的验证；第三问对相应的项进行裂项，之后求和，再利用数列的单调性，不等式的解法即可得出结果.

详解：(1)证明： ，．

， ， ．

∴数列是首项、公比均为2的等比数列.

(2)是等比数列，首项为2，通项，

故

，当时， 符合上式，∴数列的通项公式为 .

(3)解： ，

故，又因为{Sn}单调递增，所以Sn的最小值为S1=，成立，

由已知，有，解得，所以的取值范围为．