题目内容

如下图,在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m.

(1)试确定m,使得直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为；

(2)在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP.并证明你的结论.

解:(1)如下图，连AC,设AC∩BD=O,AP与面BDD1B1交于点G,连OG.

    因为PC∥面BDD1B1,面BDD1B1∩面APC=OG,

    故OG∥PC,所以OG=.

    又AO⊥DB,AO⊥BB1,所以AO⊥面BDD1B1.

    故∠AGO即为AP与平面BDD1B1所成的角.

    在Rt△AOG中,tanAGO=,即m=.

    故当m=时,直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为.

(2)依题意,要在A1C1上找一点Q,使得D1Q⊥AP,

    可推测A1C1的中点O1即为所求的Q的点.

    因为D1O1⊥A1C1,D1O1⊥AA1,

    所以D1O1⊥面ACC1A1.

    又AP面ACC1A1,故D1O1⊥AP.

    从而D1O1在平面AD1P上的射影与AP垂直.

    所以存在定点Q满足题意.

练习册系列答案
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