Question

已知z∈C，z+2i 和

z

2-i

都是实数．
（1）求复数z；
（2）若复数（z+ai）² 在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围．

Answer 1

分析：（1）化简等式，利用复数为实数的条件求出a，b的值，即得复数z．
（2）化简式子，利用复数与复平面内对应点之间的关系列出不等式组，解不等式组求得实数a 的取值范围．

解答：解：（1）设z=a+bi（a，b∈R），则z+2i=a+（b+2）i，

z

2-i

=

a+bi

2-i

=

(a+bi)(2+i)

(2-i)(2+i)

=

2a-b

5

+

a+2b

5

i，
∵z+2i 和

z

2-i

 都是实数，∴

b+2=0 a+2b 5 =0

，解得

a=4 b=-2

，∴z=4-2i．
（2）由（1）知z=4-2i，∴（z+ai）²=[4+（a-2）i]²=16-（a-2）²+8（a-2）i，
∵（z+ai）² 在复平面上对应的点在第四象限，∴

16-(a-2)2＞0 8(a-2)＜0

，
即

a2-4a-12＜0 a＜2

，∴

-2＜a＜6 a＜2

，∴-2＜a＜2，即实数a 的取值范围是（-2，2）．

点评：本题考查两个复数代数形式的混合运算，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，
式子的变形是解题的难点．