Question

设数列{a_n}，{b_n}满足a₁=b₁=6，a₂=b₂=4，a₃=b₃=3，若{a_n+1-a_n}是等差数列，{b_n+1-b_n}是等比数列．
（1）分别求出数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）是否存在k∈N^*，使a_k-b_k∈（0，

1

2

），若存在，求满足条件的所有k值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用{a_n+1-a_n}是等差数列，知其公差为1，可得其通项，利用{b_n+1-b_n}是等比数列，知其公比，可得数列的通项，利用叠加法，即可求数列的通项；
（2）假设k∈N^*存在，使a_k-b_k=

k2-7k+14

2

-23-k∈（0，

1

2

），结合整数的性质，即可得到结论．

解答：解：（1）由题意，a₂-a₁=-2，a₃-a₂=-1
∵{a_n+1-a_n}是等差数列，∴知其公差为1，
故a_n+1-a_n=-2+（n-1）•1=n-3                …（1分）
∵b₂-b₁=-2，b₃-b₂=-1，{b_n+1-b_n}是等比数列
∴其公比为

1

2

，
故b_n+1-b_n=-2•(

1

2

)n-1                               …（2分）
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=（n-1）•（-2）+

(n-1)(n-2)

2

•1+6=

n2-7n+18

2

 …（4分）
b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁=

-2[1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

+6=2+2^3-n…（6分）
（2）假设k∈N^*存在，使a_k-b_k=

k2-7k+14

2

-23-k∈（0，

1

2

），
则0＜

k2-7k+14

2

-23-k＜

1

2

即k²-7k+13＜2^4-k＜k²-7k+14    
∵k²-7k+13与k²-7k+14是相邻整数
∴2^4-k∉Z，这与2^4-k∈Z矛盾，所以满足条件的k不存在    …（12分）

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查数列的通项与求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．