Question

【题目】定义在R上的奇函数f（x），当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=﹣x2+mx﹣1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若方程f（x）=0有五个不相等的实数解，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：设x＞0，则﹣x＜0，∴f（﹣x）=﹣x2﹣mx﹣1

又f（x）为奇函数，即f（﹣x）=﹣f（x），所以，f（x）=x2+mx+1（x＞0），

又f（0）=0，

所以

（2）解：由方程f（x）=0有五个不相等的实数解，得y=f（x）的图象与x轴有五个不同的交点，

因为f（x）为奇函数，所以函数y=f（x）的图象关于原点对称，又f（0）=0，

所以f（x）=x2+mx+1（x＞0）的图象与x轴正半轴有两个不同的交点，

即，方程x2+mx+1=0有两个不等正根，记两根分别为x1，x2

所以，所求实数m的取值范围是m＜﹣2

【解析】（1）运用奇函数的定义，设x＞0，则﹣x＜0，结合f（﹣x）=﹣f（x），又f（0）=0，即可得到所求解析式；（2）由题意可得f（x）=x2+mx+1（x＞0）的图象与x轴正半轴有两个不同的交点，运用判别式和韦达定理，解不等式即可得到所求范围．