Question

【题目】已知z为复数，ω=z+ 为实数，
（1）当﹣2＜ω＜10，求点Z的轨迹方程；
（2）当﹣4＜ω＜2时，若u= （α＞0）为纯虚数，求：α的值和|u|的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：设z=x+yi，x，y∈R，

则ω=z+ =x+yi+ =x+yi+ = + i为实数，

∴y﹣ =0，∴y=0，或x2+y2=9．

①y=0时，ω=x+

∵﹣2＜ω＜10，∴﹣2＜ ＜10，

x＞0时，解得1＜x＜9．x＜0时，x∈．

综上可得：y=0时，点Z的轨迹方程是 ．

②x2+y2=9时．

ω=2x，

∵﹣2＜ω＜10，∴﹣2＜2x＜10，

解得﹣1＜x＜5．

因此x2+y2=9时．可得：点Z的轨迹方程是x2+y2=9（﹣1＜x＜5）

（2）解：由（1）可得：①y=0时，ω=x+

∵﹣4＜ω＜2，∴﹣4＜ ＜2，

∵x＜0时， ≤﹣6；x＞0时， ≥6．

综上可得：y=0时，x∈，点Z的轨迹无方程．

②x2+y2=9时．

ω=2x，

∵﹣4＜ω＜2，∴﹣4＜2x＜2，

解得﹣2＜x＜1．

∵u= （α＞0）为纯虚数，

u= = ，

∴α2﹣9=0，2yα≠0，

解得α=3，y≠0．

∴u= = ，

∵x∈（﹣2，1），

∴|u|= = = ∈ ．

∴α=3，|u|∈ /p>

【解析】（1）设z=x+yi，x，y∈R，则ω= + i为实数，可得y﹣ =0，因此y=0，或x2+y2=9．通过分类讨论即可得出．（2）由（1）可得：①y=0时，ω=x+ ，由﹣4＜ω＜2，可得﹣4＜ ＜2，利用基本不等式的性质即可得出．②x2+y2=9时．ω=2x，由于﹣4＜ω＜2，即可得出x的取值范围．由u= （α＞0）为纯虚数，化简可得α，再利用模的计算公式、函数的单调性即可得出．
【考点精析】解答此题的关键在于理解复数的乘法与除法的相关知识，掌握设则；．