题目内容

如图，在棱长为1的正方体AC₁中，E、F分别为A₁D₁和A₁B₁的中点．
（1）求异面直线AF和BE所成的角的余弦值：
（2）求平面ACC₁与平面BFC₁所成的锐二面角：
（3）若点P在正方形ABCD内部或其边界上，且EP∥平面BFC₁，求EP的取值范围．

解：（1）以D为原点，DA，DC，DD₁分别为x，y，z轴，建立如图所示的直角坐标系，
则A（1，0，0），E（ $\text{[math]}$ ，0，1），B（1，1，0），F（1， $\text{[math]}$ ，1）．
∴ $\text{[math]}$ =（0， $\text{[math]}$ ，1）， $\text{[math]}$ =（- $\text{[math]}$ ，-1，1），
∴cos $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
（2）平面ACC₁的一个法向量为 $\text{[math]}$
设平面BFC₁的法向量为 $\text{[math]}$
由 $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，可取z=1，则 $\text{[math]}$
∴cos $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ 为锐角
∴所求的锐二面角为 $\text{[math]}$ ；
（3）设P（x，y，0）（0≤x≤1，0≤y≤1），则 $\text{[math]}$
由 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ，即x=-2y+ $\text{[math]}$ ，
∵0≤x≤1，∴0≤-2y+ $\text{[math]}$ ≤1，∴ $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ ，∴当y= $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；当y= $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
故EP的取值范围为[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]．
分析：（1）建立空间直角坐标系，用坐标表示向量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，利用向量的夹角公式，可求异面直线AF和BE所成的角的余弦值：
（2）确定平面ACC₁、平面BFC₁的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得平面ACC₁与平面BFC₁所成的锐二面角；
（3）用坐标表示出 $\text{[math]}$ ，求出模长，利用配方法，即可求得EP的取值范围．
点评：本题考查向量知识的运用，考查线线角、面面角，考查线段长的取值范围，考查学生的计算能力，用坐标表示向量是关键．