Question

10．已知数列{a_n}中a₁=2，a₂=1，a_n+2=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2{a}_{n+1}}{{a}_{n}}，{a}_{n+1}≥2}\\{\frac{4}{{a}_{n}}，{a}_{n+1}＜2}\end{array}\right.$（n∈N^*），S_n是数列{a_n}的前n项和，则S₂₀₁₅=5239．

Answer 1

分析 由a₁=2，a₂=1，a_n+2=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2{a}_{n+1}}{{a}_{n}}，{a}_{n+1}≥2}\\{\frac{4}{{a}_{n}}，{a}_{n+1}＜2}\end{array}\right.$（n∈N^*），可得a_n+5=a_n．即可得出．

解答 解：∵a₁=2，a₂=1，a_n+2=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2{a}_{n+1}}{{a}_{n}}，{a}_{n+1}≥2}\\{\frac{4}{{a}_{n}}，{a}_{n+1}＜2}\end{array}\right.$（n∈N^*），
∴a₃=$\frac{4}{{a}_{1}}$=2，a₄=$\frac{2{a}_{3}}{{a}_{2}}$=4，a₅=$\frac{2{a}_{4}}{{a}_{3}}$=4，a₆=$\frac{2{a}_{5}}{{a}_{4}}$=2，a₇=$\frac{2{a}_{6}}{{a}_{5}}$=1，…，
∴a_n+5=a_n．
∴S₂₀₁₅=S_5×403=（2+1+2+4+4）×403=5239．
故答案为：5239．

点评 本题考查了数列的周期性、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．