Question

如图，已知⊙O和⊙O₁内切于点A，⊙O的弦AP交⊙O₁于点B，PC切⊙O₁于点C，且

PC

PA

=

2

2

，则⊙O₁和⊙O的半径的比值为多少？

Answer 1

分析：根据同圆的半径相等，得到两个顶角相等的等腰三角形，得到两条线段平行，根据平行线分线段成比例定理，得到比例式，又根据切割线定理得到关系式，把整理出的关系式两边同时除以PA²，得到要求的结果．

解答：解：连接OP、OA、O₁B，△OPA和△O₁BA是顶角相等的等腰三角形，
故∠APO=∠ABO₁，从而O₁B∥OP
故

AO1

AO

=

AB

AP

．
又由切割线定理，知PC²=PB•PA=（PA-AB）•PA=PA²-PA•AB，两端同除以PA²，
得

PC2

PA2

=1-

AB

PA

，
即（

2

2

）²=1-

AB

PA

，
故

AB

PA

=

1

2

，
从而⊙O₁和⊙O的半径的比值为

AO1

AO

=

AB

AP

=

1

2

．
答：⊙O₁和⊙O的半径的比值为

1

2

点评：本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是两个比例式之间的变化，还有两边同时除以PA²的做法，本题是一个技巧性比较强的问题．