Question

（Ⅰ）设为正数，且，求证：；
（Ⅱ）设为正数，，求证：

Answer 1

（Ⅰ）为正数，且，由柯西不等式有：

，
当且仅当，即时等号成立，
．                                ……………6分
（Ⅱ）证法一：用数学归纳法证明：
①当时，左边=右边； 当时，左边=右边；
当时，左边右边，
所以当时，不等式成立；
②假设当时不等式成立，即，则当时，
是正数，，

， ，

所以当时不等式也成立，
综合①②得当为正数，时，成立． ……………12分
证法二：用构造法证明：
设，则：，
是正数，
，又，，，
即当为正数，时，成立．

略