Question

设a₁，d为实数，首项为a₁，公差为d的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S₅S₆+15=0，S₅=5
（Ⅰ）求通项a_n及S_n；
（Ⅱ）设{b_n-2a_n}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b_n}的通项公式及其前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知求出S₆的值，然后与S₅的值联立方程组求解等差数列的首项和公差，则等差数列的通项公式和前n项和可求；
（Ⅱ）由{b_n-2a_n}是等比数列写出其通项公式，在把a_n代入b_n-2a_n可求数列{b_n}的通项公式，然后利用分组求和得到数列{b_n}的其前n项和T_n．

解答：解：（Ⅰ）由S₅S₆+15=0及S₅=5，有S₆=-3，
则

5a1+10d=5 6a1+15d=-3

，解得

a1=7 d=-3

．
∴a_n=7+（n-1）（-3）=-3n+10，
Sn=

7+(-3n+10)

2

n=-

3

2

n2+

17

2

n；
（Ⅱ）∵{b_n-2a_n}是首项为1，公比为3的等比数列，
∴bn-2an=3n-1，
又a_n=-3n+10，
∴bn=3n-1+20-6n，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=(1+2a1)+(3+2a2)+…+(3n-1+2an)
=1+3+…+3^n-1+2（a₁+a₂+…+a_n）=

1-3n

1-3

+2Sn=

3n-1

2

-3n2+17n．

点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了等差数列和等比数列的前n项和公式，训练了数列的分组求和方法，是中档题．