Question

已知函数f（x）在定义域（-∞，1]上是减函数，问是否存在实数k，使不等式f（-

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）≥f（k²-sin²x）对一切实数x恒成立？若成立，求出k的取值范围，若不成立，说明理由．

Answer 1

假设存在实数k满足题意，
∵f（x）在定义域（-∞，1]上是减函数，
∴

- 1 2 ≤k2-sin2x k2-sin2x≤1

，即-1+k2≤sin2x≤

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+k2一切实数x恒成立，
∵0≤sin²x≤1，∴

-1+k2≤0 1 2 +k2≥1

，解得

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≤k2≤1，
则-1≤k≤-

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或

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2

≤k≤1，
故当-1≤k≤-

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2

或

2

2

≤k≤1时不等式恒成立．