Question

若动圆P恒过定点B(2，0)，且和定圆C:(x+2)²+y²=4外切.

(1)求动圆圆心P的轨迹E的方程；

(2)若过点B的直线l与曲线E交于M、N两点，试判断以MN为直径的圆与直线m：x=是否相交，若相交，求出所截得劣弧的弧度数，若不相交，请说明理由.

Answer 1

解:(1)由于圆P与圆C相外切

∴|PC|=|PB|+2,即|PC|-|PB|=2

∴动圆P的圆心的轨迹是以B、C为焦点，实轴长为2的双轴曲线的右支  a=1,c=2,  ∴b²=3

∴动点P的轨迹方程为x²-=1(x≥0) 

(2)由(1)知：B(2,0)与直线x=分别为双曲线x²-=1的右焦点及右准线.

∴MN为双曲线的焦点弦.

取MN的中点A，则A为以MN为直径的圆的圆心.过M、N、A分别向直线m：x=作垂线.垂足分别为E、F、G，则|AG|== 

∵e＞1   ∴|AG|＜

∴以MN为直径的圆与直线m:x=相交 

设以MN为直径的圆与直线m:x=的交点分别为K、H.则所截得劣弧的弧度数等于圆心角∠KAH的弧度数

且cos∠HAG= 

又e=2  ∴cos∠HAG=∴∠HAG=.

∴劣弧弧度数为 

(2)另解:由(1)知B(2，0)，直线m:x=为双曲线x²-=1的右焦点及右准线，则MN为焦点弦.

当直线l斜率存在时，设l:y=k(x-2)代入x²-=1中得：(3-k²)x²+4k²x-4k²-3=0

            ∴k²＞3

∴|MN|=e(x₁+x₂)-2a=2×-2×1=

又MN的中点A到直线m:x=的距离

d=

∴d-

∴以MN为直径的圆与直线m:x=相交 

截得劣弧弧度数等于所对圆心角θ的弧度数

又cos

∴        ∴

当直线l斜率不存在时，则直线m:x=2,经验证上述结论成立.