Question

已知圆x²+y²=4，点M（1，0），N（4，0）．
（Ⅰ）若P为圆上动点．
（1）求△PMN重心的轨迹方程；
（2）求证：∠MPN的平分线恒过定点，并求该点坐标；
（Ⅱ）过M作相互垂直的直线分别与圆交于A，C，B，D四点，求四边形ABCD的面积的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）（1）设重心G、P的坐标，利用三角形重心坐标公式，确定坐标之间的关系，利用P为圆上的点，即可求得△PMN重心的轨迹方程；
（2）求出直线PM、PN的方程，设∠MPN的平分线与x轴交与Q（t，0），列出方程，即可求得结论；
（Ⅱ）先确定AC²+BD²为定值，表示出面积，即可求四边形ABCD的面积的最大值和最小值．

解答：（Ⅰ）解：（1）设重心G（x，y），P（x₀，y₀），则

x= 1 3 (x0+1+4) y= 1 3 y0 ，&

，∴

x0=3x-5 y0=3y

，
又P（x₀，y₀）为圆上的点，∴

x

2 0

+

y

2 0

=4，∴（3x-5）²+（3y）²=4
化简并整理得：(x-

5

3

)2+y2=

4

9

…（4分）
（2）证明：∵kPM=

y0

x0-1

，kPN=

y0

x0-4

，∴直线PM：y₀x-（x₀-1）y-y₀=0，PN：y₀x-（x₀-4）y-4y₀=0，
设∠MPN的平分线与x轴交与Q（t，0），则

|(t-1)y0|

y 2 0 +(x0-1)2

=

|(t-4)y0|

y 2 0 +(x0-4)2

，解得t=2，
∴必过Q（2，0）…（8分）
（Ⅱ）解：设弦AC，BD的中点分别为E，F，则OE²+OF²=OM²=1，OE²+CE²=OF²+DF²=4CE²+DF²=（4-OE²）+（4-OF²）=8-（OE²+OF²）=7，AC²+BD²=4（CE²+DF²）=28
∴S2=

1

4

AC2×BD2=

1

4

AC2×(28-AC2)，AC2∈[12，16]
∴4

3

≤S≤7．…（13分）

点评：本题考查关键方程，考查直线过定点，考查面积的计算，正确运用代入法是解题的关键．