Question

【题目】已知椭圆 的离心率为 ，点（2，0）在椭圆C上． （Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过点P（1，0）的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于A、B两点，设点B关于x轴的对称点为B'．直线AB'与x轴的交点Q是否为定点？请说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因为点（2，0）在椭圆C上，所以a=2． 又因为 ，所以 ．
所以 ．
所以椭圆C的标准方程为： ．
（Ⅱ）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），B'（x2 ， ﹣y2），Q（n，0）．
设直线AB：y=k（x﹣1）（k≠0）．
联立y=k（x﹣1）和x2+4y2﹣4=0，得：（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0．
所以 ， ．
直线AB'的方程为 ，
令y=0，解得
又y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1），
所以 ．
所以直线AB'与x轴的交点Q是定点，坐标为Q（4，0）
【解析】（Ⅰ）由点（2，0）在椭圆C上，可得a=2，又 ，b= ，解出即可得出．（Ⅱ）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），B'（x2 ， ﹣y2），Q（n，0）．设直线AB：y=k（x﹣1）（k≠0）．与椭圆方程联立得：（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0．直线AB'的方程为 ，令y=0，解得n，又y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1），再利用根与系数的关系即可得出．