Question

【题目】已知有限集，如果A中元素，满足，就称A为元“创新集”；

（1）若，试写出一个二元“创新集”A；

（2）若，且是二元“创新集”，求的取值范围；

（3）若是正整数，求出所有的“创新集”；

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）；

【解析】

（1）解方程得到一组解即可；

（2）设，则一元二次方程有两个根，再根据判别式大于0，得到的取值范围；

（3）证明，均不存在“创新集”，同时证明时，存在唯一“创新集”

（1）由“创新集”的定义得：，

令，得，则；

所以为二元“创新集”.

（2）若，且是二元“创新集”，

不妨设，

则由韦达定理知，是一元二次方程的两个根，

由，可得或，

所以或.

（3）若是正整数，不妨设中，

由，所以，

当时，，所以，

所以，显然无解，

所以时，不存在“创新集”.

当时，，故只能，求得，

所以.

当时，由，

则有成立，

但对时，恒成立，

所以对恒成立，

所以对不成立，

所以时不存在“创新集”.

综上所述：“创新集”只有.