Question

已知曲线f（x）=x³-3ax（a∈R），直线y=-x+m，m∈R
（Ⅰ）当a=

4

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时，且曲线f（x）与直线有三个交点，求m的取值范围
（Ⅱ）若对任意的实数m，直线与曲线都不相切，
（ⅰ）试求a的取值范围；
（ⅱ）当x∈[-1，1]时，曲线f（x）的图象上是否存在一点P，使得点P到x轴的距离不小于

1

4

．试证明你的结论．

Answer 1

（Ⅰ）当a=

4

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时，f（x）=x³-4x
∵曲线f（x）与直线有三个交点
∴x³-4x=-x+m有三个不同的根
∴x³-3x=m有三个不同的根，
令g（x）=x³-3x，g'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）
∴g（x）在（-1，1）上递减，（1，+∞），（-∞，-1）上递增g（-1）_极大值=2，g（1）_极小值=-2
∴当-2＜m＜2时，曲线f（x）与直线有三个交点
（Ⅱ）（i）f（x）=3x²-3a∈[-3a，+∞]，
∵对任意m∈R，直线x+y+m=0都不与y=（x）相切，
∴-1不属于[-3a，+∞]，-1＜-3a，实数a的取值范围是a＜

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；
（ii）存在，证明方法1：问题等价于当x∈[-1，1]时，|f（x）|_max≥

1

4

，
设g（x）=|f（x）|，则g（x）在x∈[-1，1]上是偶函数，
故只要证明当x∈[0，1]时，|f（x）|_max≥

1

4

，
①当a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在[0，1]上单调递增，且f（0）=0，g（x）=f（x）
g（x）_max=f（1）=1-3a＞1＞

1

4

；
②当0＜a＜

1

3

时f′（x）=3x²-3a=3（x+

a

）（x-

a

），
列表：

x	（-∞，- a ）	- a	（- a ， a ）	a	（ a ，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	极大值2a a	↓	极小值 -2a a	↑

f（x）在（0，

a

）上递减，在（

a

，1）上递增，
注意到f(0)=f(

3a

)=0，且

a

＜

3a

＜1，
∴x∈（0，

3a

）时，g（x）=-f（x），x∈（

3a

，1）时，g（x）=f（x），
∴g（x）_max=max{f（1），-f（

a

）}，
由f(1)=1-3a≥

1

4

及0＜a＜

1

3

，解得0＜a≤

1

4

，此时-f(

a

)≤f(1)成立．
∴g(x)max=f(1)=1-3a≥

1

4

．
由-f(

a

)=2a

a

≥

1

4

及0＜a＜

1

3

，解得

1

4

≤a＜

1

3

，此时-f(

a

)≥f(1)成立．
∴g(x)max=-f(

a

)=2a

a

≥

1

4

．
∴在x∈[-1，1]上至少存在一个x₀，使得|f（x₀）|≥

1

4

成立．
（II）存在，证明方法2：反证法
假设在x∈[-1，1]上不存在x₀，使得使得|f（x₀）|≥

1

4

成立．
，即任意|f(x0)|＜

1

4

，x∈[-1，1]，设g（x）=|f（x）|
，则g（x）在x∈[-1，1]，上是偶函数，
∴x∈[0，1]时，|f(x)|max＜

1

4

①当a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在[0，1]上单调递增，且f（0）=0，g（x）=f（x）
g(x)max=f(1)=1-3a＜

1

4

，a＞

1

4

与a≤0矛盾；
②当0＜a＜

1

3

，f′(x)=3x2-3a=3(x+

a

)(x-

a

)，可知f（x）在(0，

a

)上递减，在(

a

，1)上递增，
注意到f(0)=f(

3a

)=0，且

a

＜

3a

＜1
∴x∈(0，

3a

)时，g（x）=-f（x），x∈(

3a

，1)时，g（x）=f（x），
∴g(x)max=max{f(1)，-f(

a

)}
注意到0＜a＜

1

3

，由：

-f( a )≤f(1)=1-3a f(1)=1-3a＜ 1 4

，

0＜a≤ 1 4 a＞ 1 4

矛盾；

-f( a )≥f(1)=1-3a -f( a )=2a a ＜ 1 4

，

a≥ 1 4 a＜ 1 4

矛盾；
∴x∈[-1，1]，|f(x)0|＜

1

4

与a＜

1

3

矛盾，
∴假设不成立，原命题成立．