Question

8．已知f（x）=kx+b的图象过点（2，1），且b²-6b+9≤0
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若a＞0，解关于x的不等式x²-（a²+a+1）x+a³+3＜f（x）．

Answer 1

分析 （1）由已知得$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=1}\\{（b-3）^{2}≤0}\end{array}\right.$，由此能求出f（x）．
（2）原不等式等价于x²-（a²+a）x+a³＜0，由此能求出关于x的不等式x²-（a²+a+1）x+a³+3＜f（x）．

解答 解：（1）∵f（x）=kx+b的图象过点（2，1），且b²-6b+9≤0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=1}\\{（b-3）^{2}≤0}\end{array}\right.$，解得b=3，k=-1．
∴f（x）=-x+3．
（2）∵a＞0，x²-（a²+a+1）x+a³+3＜f（x），
∴-x+3＞x²-（a²+a+1）x+a³+3，
∴x²-（a²+a）x+a³＜0，
解方程x²-（a²+a）x+a³=0，得x₁=a，${x}_{2}={a}^{2}$，
当0＜a＜1时，原不等式的解集为：{x|a²＜x＜a}；
当a=1时，原不等式的解集为：{x|x≠1}；
当a＞1时，原不等式的解集为：{x|a＜x＜a²}．

点评 本题考查函数的解析式的求法，考查不等式的解法，是中档题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．