Question

如图，在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，P为DD₁的中点，O为ABCD的中心，求证：B₁O⊥平面PAC.

Answer 1

思路解析：要证B₁O⊥平面PAC，只需证B₁O垂直于平面PAC中的两条相交直线.

证明：连结AB₁、CB₁，设AB=1.

因为AB₁=CB₁=2，AO=CO，所以B₁O⊥AC.连结PB₁.

因为OB₁²=OB²＋BB₁²=，PB₁²=PD₁²＋B₁D₁²=，OP²=PD²＋DO²=，

所以OB₁²＋OP²=PB₁².

所以B₁O⊥PO.

又∵PO∩AC=O,∴B₁O⊥平面PAC.

方法归纳  线面垂直可转化为线线垂直.应用勾股定理的逆定理，通过计算得出垂直是证明垂直的常用手段之一.