Question

已知F₁、F₂分别是椭圆C：的左焦点和右焦点，O是坐标系原点，且椭圆C的焦距为6，过F₁的弦AB两端点A、B与F₂所成△ABF₂的周长是．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）是椭圆C上不同的两点，线段PQ的中点为M（2，1），求直线PQ的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由焦距可求得c值，由△ABF₂的周长是可得a值，再由a²=b²+c²即可求得b值；
（2）平方差法：把点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）坐标代入椭圆方程作差，可求得直线PQ的斜率，利用点斜式即可求得直线方程；
解答：解：（1）设椭圆C：的焦距为2c，
∵椭圆C：的焦距为2，∴2c=6，即c=3，
又∵F₁、F₂分别是椭圆C：的左焦点和右焦点，且过F₁的弦AB两端点A、B与F₂所成△ABF₂的周长是．
∴△ABF₂的周长=AB+（AF₂+BF₂）=（AF₁+BF₁）+（AF₂+BF₂）=4a=，解得，
又∵a²=b²+c²，∴b²=18-9=9，
∴椭圆C的方程是；
（2）∵点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）是椭圆C上不同的两点，
∴，．
以上两式相减得：，
即，，
∵线段PQ的中点为M（2，1），∴．
∴，
当x₁=x₂，由上式知，y₁=y₂则P，Q重合，与已知矛盾，因此x₁≠x₂，
∴，即直线PQ的斜率为-1，
∴直线PQ的方程为y-1=-（x-2），即x+y-3=0．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆标准方程的求解，考查方程思想，凡涉及弦中点问题均可考虑平方差法解决．