Question

已知f(x)=

2x+b

2x+1+a

是R上奇函数
（I）求a，b的值；
（II）解不等式f[-3(log3x)2-2log3x]+f[2(log3x)2+3]＜0．

Answer 1

分析：（I）由奇函数的性质可得f（0）=0，解得b=-1，再由 f（-1）=-f（1），求出a的值．
（II）由于f（x） 在R上是单调增函数，故不等式等价于3(log3x)2+2log3x＞2(log3x)2+3，解得 log₃x 的范围，再解对数不等式即可求得原不等式的解集．

解答：解：（I）∵已知f(x)=

2x+b

2x+1+a

是R上奇函数，故有f（0）=0，解得b=-1．
又∵f（-1）=-f（1），∴

2-1-1

1+a

=-

21-1

4+a

，解得 a=2．
此时，f（x）=

2x-1

2(2x+1)

，经过检验，此函数为奇函数．
（II）∵f（x）=

1

2

-

1

1+2x

，故函数在R上是单调增函数，故不等式等价于
 3(log3x)2+2log3x＞2(log3x)2+3，(log3x)2+2log₃x-3＞0，
解得 log₃x＜-3，或 log₃x＞1，即 0＜x＜

1

27

，或 x＞3，
故不等式的解集为 {x|0＜x＜

1

27

，或 x＞3 }．

点评：本题主要考查对数函数的图象和性质、以及奇函数的性质、函数的单调性的综合应用，一元二次不等式、对数不等式的解法，属于中档题．