题目内容

已知函数f（x）=x3+bx2+cx+1的单调递增区间是（-∞，-2]与[2，+∞），单调递减区间是[-2，2]．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）若f（x）的图象与直线y=m恰有三个公共点，求m的取值范围．
分析：（1）由单调递区间的端点可得：-2，2是导数的两个零点，从而求出参数b，c，得到函数f（x）的解析式；
（2）用数形结合的方法解，画出图象．由图可知，直线x=m与曲线有三个交点时，m的值在最大值与最小值之间．
由此得不等关系解决．
解答：精英家教网解：（I）f'（x）=3x2+2bx+c，依题意有
f′(-2)=0
f′(2)=0
即
12-4b+c=0
12+4b+c=0

解得b=0，c=-12．∴函数f（x）的解析式为f（x）=x3-12x+1．（6分）
（II）由条件可知，函数f（x）有极大值f（-2）=17，极小值f（2）=-15．（10分）
因为f（x）的图象与直线y=m恰有三个公共点，
所以，-15＜m＜17．（12分）
点评：本题考查利用导数研究函数的极值以及图象法，函数图象是表述函数问题的重要工具，因此，巧妙运用函数图象，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．
练习册系列答案
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精英家教网已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（　　）
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)
（2012•深圳一模）已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．
（2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．

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