Question

甲、乙、丙三人分别独立的进行某项技能测试，已知甲能通过测试的概率是

2

5

，甲、乙、丙三人都能通过测试的概率是

3

20

，甲、乙、丙三人都不能通过测试的概率是

3

40

，且乙通过测试的概率比丙大．
（Ⅰ）求乙、丙两人各自通过测试的概率分别是多少；
（Ⅱ）求测试结束后通过的人数ξ的数学期望Eξ．
（Ⅲ）求在乙通过测试的条件下，甲没有通过测试的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设乙、丙两人各自通过测试的概率分别是x、y，依题意得：

2 5 xy= 3 20 3 5 (1-x)(1-y)= 3 40

，由此可求乙、丙两人各自通过测试的概率分别是多少；
（Ⅱ）测试结束后通过的人数ξ的取值分别为0，1，2，3，求出相应的概率，即可求数学期望Eξ．
（Ⅲ）利用条件概率公式，可求在乙通过测试的条件下，甲没有通过测试的概率．

解答：解：（Ⅰ）设乙、丙两人各自通过测试的概率分别是x、y，
依题意得：

2 5 xy= 3 20 3 5 (1-x)(1-y)= 3 40

，解得

x= 3 4 y= 1 2 .

或  

x= 1 2 y= 3 4 .

（舍去）┅┅┅┅┅┅┅（4分）
所以乙、丙两人各自通过测试的概率分别是

3

4

、

1

2

．┅┅┅┅┅┅┅（6分）
（Ⅱ）ξ的取值分别为0，1，2，3，则
因为P (ξ=0)=

3

40

，P(ξ=3)=

3

20

，P(ξ=1) =

2

5

(1-

3

4

)(1-

1

2

)+(1-

2

5

)

3

4

(1-

1

2

)+(1-

2

5

)(1-

3

4

)

1

2

=

7

20

，P (ξ=2)=1-(P0+P1+P3)=

17

40

，
所以Eξ=0•

3

40

+1•

7

20

+2•

17

40

+3•

3

20

=

33

20

；
（Ⅲ）设甲，乙通过测试的事件分别为 A，B，
则所求的事件的概率为P(

.

A

|B)=

P( . A B)

P(B)

=

P( . A )P(B)

P(B)

=P(

.

A

)=1-

2

5

=

3

5

．

点评：本题考查概率的计算，考查随机变量的数学期望，考查条件概率，考查学生的计算能力，正确求概率是关键．