Question

设函数f(x)＝a为常数且a∈(0，1)．

(1)当a＝时，求f；

(2)若x0满足f[f(x0)]＝x0，但f(x0)≠x0，则称x0为f(x)的二阶周期点．证明函数f(x)有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x1，x2；

(3)对于(2)中的x1，x2，设A(x1，f[f(x1)])，B(x2，f[f(x2)])，C(a2，0)，记△ABC的面积为S(a)，求S(a)在区间[，]上的最大值和最小值．

 

Answer 1

（1）（2）见解析，x1＝，x2＝（3）最小值为，最大值为

【解析】(1)当a＝时，f＝，f＝f＝2＝.

(2)证明：f[f(x)]＝

当0≤x≤a2时，由x＝x解得x＝0，由于f(0)＝0，故x＝0不是f(x)的二阶周期点；

当a2<x≤a时，由 (a－x)＝x解得x＝∈(a2，a)，因为f＝·＝≠，故x＝是f(x)的二阶周期点；

当a<x<a2－a＋1时，由 (x－a)＝x解得x＝∈(a，a2－a＋1)，

因为f＝·＝，故x＝不是f(x)的二阶周期点；

当a2－a＋1≤x≤1时，由 (1－x)＝x解得x＝∈(a2－a＋1，1)，因为f＝·＝≠，故x＝是f(x)的二阶周期点．

因此，函数f(x)有且仅有两个二阶周期点，x1＝，x2＝.

(3)由(2)得A(，)，B(，)，则S(a)＝，

S′(a)＝·.

因为a∈[，]，有a2＋a<1，所以S′(a)＝·＝·>0.(或令g(a)＝a3－2a2－2a＋2，g′(a)＝3a2－4a－2＝3(a－)(a－)，

因为a∈(0，1)，所以g′(a)<0，则g(a)在区间[，]上最小值为g()＝>0，故对于任意a∈[，]，g(a)＝a3－2a2－2a＋2>0，S′(a)＝·>0)则S(a)在区间[，]上单调递增，故S(a)在区间[，]上的最小值为S()＝，最大值为S()＝.