Question

7．设函数f（x）的定义域为D，记f（X）={y|y=f（x），x∈X⊆D}，f^-1（Y）={x|f（x）∈Y，x∈D}，若f（x）=2sin（ωx+$\frac{5π}{6}$）（ω＞0）且f（f^-1（[0，2]））=[0，2]，则ω的取值范围是ω＞0．

Answer 1

分析 可求得f^-1（[0，2]）=[$\frac{1}{ω}$（kπ-$\frac{5π}{6}$），$\frac{1}{ω}$（kπ+$\frac{π}{6}$）]，（k∈Z），从而求得2sin（ωx+$\frac{5π}{6}$）∈[0，2]，从而解得．

解答 解：由题意得，
f（x）=2sin（ωx+$\frac{5π}{6}$）（ω＞0）的定义域为R，
f^-1（[0，2]）={x|f（x）∈[0，2]，x∈R}，
故2sin（ωx+$\frac{5π}{6}$）∈[0，2]；
故kπ≤ωx+$\frac{5π}{6}$≤kπ+π，k∈Z；
故$\frac{1}{ω}$（kπ-$\frac{5π}{6}$）≤x≤$\frac{1}{ω}$（kπ+$\frac{π}{6}$），k∈Z；
即f^-1（[0，2]）=[$\frac{1}{ω}$（kπ-$\frac{5π}{6}$），$\frac{1}{ω}$（kπ+$\frac{π}{6}$）]，（k∈Z）；
故f（f^-1（[0，2]））
=f（[$\frac{1}{ω}$（kπ-$\frac{5π}{6}$），$\frac{1}{ω}$（kπ+$\frac{π}{6}$）]）
={y|y=f（x），x∈[$\frac{1}{ω}$（kπ-$\frac{5π}{6}$），$\frac{1}{ω}$（kπ+$\frac{π}{6}$）]}，
故f（x）=2sin（ωx+$\frac{5π}{6}$）在[$\frac{1}{ω}$（kπ-$\frac{5π}{6}$），$\frac{1}{ω}$（kπ+$\frac{π}{6}$）]上的值域为[0，2]；
∵x∈[$\frac{1}{ω}$（kπ-$\frac{5π}{6}$），$\frac{1}{ω}$（kπ+$\frac{π}{6}$）]，
∴ωx∈[（kπ-$\frac{5π}{6}$），（kπ+$\frac{π}{6}$）]，
∴ωx+$\frac{5π}{6}$∈[（kπ，（kπ+π）]，
∴2sin（ωx+$\frac{5π}{6}$）∈[0，2]．
故答案为：ω＞0．

点评 本题考查了对应关系的应用及函数的定义域与值域的关系应用．